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Pensamiento y procesos matemáticos

Tener un buen desempeño en matemáticas significa resolver problemas, formular nuevas preguntas y plantear nuevos problemas en diferentes contextos aplicando (i) notación simbólica y conceptos matemáticos pertinentes, (ii) diferentes tipos de pensamiento matemático y lógico, y (iii) procedimientos adecuados (técnicas de formulación y solución de problemas, modelado de procesos y fenómenos de la realidad, algoritmos, reconocimiento de patrones, razonamiento y argumentación, prueba y refutación, comunicación clara y precisa, herramientas). A continuación se explican estos elementos matemáticos, hacia los cuales se enfoca el aprendizaje de las matemáticas en los cursos del Departamento de Ciencias Matemáticas.

¿Qué es la matemática? 

  • Las matemáticas o la matemática​ (del latín mathematĭca, y este del griego μαθηματικά, derivado de μάθημα, ‘conocimiento’) es una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entidades abstractas como números, figuras geométricas o símbolos matemáticos. La matemática en realidad es un conjunto de lenguajes formales que pueden ser usados como herramienta para plantear problemas de manera no ambigua en contextos específicos (Wikipedia)
  • La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles (René Descartes).
  • Las leyes de la matemática no son meramente invenciones o creaciones humanas, simplemente "son": existen independientemente del intelecto humano. Lo más que puede hacer un hombre de inteligencia aguda es descubrir que esas leyes están allí y llegar a conocerlas. (Maurits Cornelis Escher).
  • Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo. Las matemáticas son el lenguaje de la naturaleza. (Galileo Galilei)
  • ¿Cómo puede ser que las matemáticas, siendo después de todo un producto del pensamiento humano independiente de la experiencia, estén tan admirablemente adaptadas a los objetos de la realidad? (Albert Einstein)
  • El estudio de los objetos mentales con propiedades reproducibles se denomina matemática (Davis y Hersh)
  • Las matemáticas son solo el instrumento del conocimiento general y último del ser humano (Friedrich Nietzsche)
  • Las matemáticas son la búsqueda de pautas (Richard P. Feynman)
  • Las matemáticas poseen no solo la verdad, sino cierta belleza suprema. Una belleza fría y austera, como la de una escultura (Bertrand Russell)

Tipos básicos de conocimiento matemático

  • Conocimiento conceptual. Saber qué y el saber por qué
  • Conocimiento procedimental. Saber cómo. Habilidades y destrezas para elaborar, comparar y ejercitar algoritmos y para argumentar convincentemente. El conocimiento procedimental ayuda a la construcción y refinamiento del conocimiento conceptual y permite el uso eficaz, flexible y en contexto de los conceptos, proposiciones, teorías y modelos matemático.

Tipos de pensamiento matemático

El pensamiento matemático, el cual se complementa con el pensamiento lógico (las matemáticas no son las únicas que desarrollan el pensamiento lógico), es el proceso de llevar las cosas de manera precisa a sus esencias numéricas, estructurales o lógicas, y de analizar los patrones subyacentes.

Tipos de pensamiento matemático:

  • El pensamiento numérico y los sistemas numéricos
  • El pensamiento espacial y los sistemas geométricos
  • El pensamiento métrico y los sistemas métricos o de medidas (conservación de magnitudes, apreciación del rango de las magnitudes, truncamiento y redondeo, tratamiento del error, valoración de las cifras significativas, expresión de medidas grandes y pequeñas por medio de la notación científica, precisión y la exactitud de una medición).
  • El pensamiento aleatorio y los sistemas de datos
  • El pensamiento variacional y los sistemas algebraicos y analíticos: reconocimiento, percepción, identificación y caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos
Las competencias matemáticas no se alcanzan por generación espontánea, sino que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones problema significativas y comprensivas, que posibiliten avanzar a niveles de competencia más y más complejos. De aquí la importancia que esos problemas sigan surgiendo en distintos niveles del aprendizaje del estudiante y no solo en los cursos específicos de matemáticas.

Los nuevos métodos de enseñanza de matemáticas están diseñados principalmente para crear: (1) La capacidad para trabajar en equipos interdisciplinarios. (2) La comprensión de los métodos (más importante que ser capaz de calcular). (3) Pensadores matemáticos innovadores y divergentes.

Procesos generales de las matemáticas

  • Formulación, tratamiento y solución de problemas
  • Modelado de procesos y fenómenos de la realidad
  • Formulación, comparación y ejercitación de procedimientos: construcción y ejecución segura y rápida de procedimientos mecánicos o de rutina (algoritmos) para que no se oscurezca la comprensión; reconocimiento de patrones
  • Razonamiento, prueba y refutación (uso de ejemplos y contraejemplos): las matemáticas no son simplemente una memorización de reglas y algoritmos, sino que tienen sentido, son lógicas, potencian la capacidad de pensar
  • Comunicación (adquisición y dominio de los lenguajes propios de las matemáticas: palabras, frases, gráficos, tablas, símbolos, etc.): capacidad de representar un contenido matemático al menos en dos formas

Pasos para la solución de problemas matemáticos

La solución de problemas matemáticos es un asunto de método. Es interesante que muchas personas confunden la dificultad de un problema con lo tedioso del cálculo para resolverlo, sin saber que el cálculo es solo una etapa de la solución del problema, la cual puede realizarse con el software adecuado. De hecho, es una práctica común e incorrecta ir directamente a la solución sin analizar el problema y los resultados.

Por supuesto que muchas dificultades vienen de vacíos de conocimiento debido a una mala enseñanza o un mal estudio de los temas, pero si se aplican los métodos adecuados se pueden resolver muchos problemas aunque se tengan falencias en otras áreas. Claro, un buen aprendizaje de temas previos permitirá entender y analizar mejor el problema y su solución. "Todos, con los suficientes recursos, tiempo y práctica, podemos aprender esta área del conocimiento de forma muy sencilla".

A continuación se presenta un método muy conocido de solución de problemas (Pólya, 1957), aplicado en nuestro caso a problemas matemáticos.

1. Interpretación del problema

    • Identificar claramente los datos (parámetros, información conocida) e incógnitas (variables, información desconocida)
    • Identificar claramente lo que se pide
    • Revisar el conocimiento y comprensión de los conceptos necesarios para la solución del problema
    • Formular el problema en palabras propias
    • Formular preguntas adecuadas acerca del problema de manera que ayuden a esclarecerlo
    • Dibujar un diagrama del problema (si es posible)

2. Plan de solución

    • Buscar la semejanza e identificar patrones conocidos con otros problemas ya resueltos
    • Imaginar un problema parecido pero más sencillo
    • Formular matemáticamente el problema en caso de problemas de modelado matemático
    • Descomposición del problema (análisis) en sus elementos: operaciones, resultados intermedios, ¿otros?
    • Especificar los pasos a seguir y vislumbrar las dificultades y otros caminos a seguir ("si… entonces…"). En casos prácticos, especificar un algoritmo de solución.
    • Distinguir entre un procedimiento difícil y uno largo y tedioso. Recordar la ley de conservación de las dificultades
    • No preocuparse por memorizar las fórmulas (normalmente se dan y si no se dan su recuerdo será más simple con la práctica)
    • Identificar las operaciones que se necesitarán (cálculo, ecuaciones, desigualdades, sistemas de ecuaciones, fracciones parciales, etc.)
    • Verificar que se utilizan todos los datos del problema
    • Imaginar en lo posible la forma y magnitud de la solución

3. Aplicación del plan, cálculo de la solución

    • El orden y claridad son fundamentales para desarrollar la lógica de la solución de los problemas. No escribir en otras partes de la hoja y usar barras largas, sangría o numeración, esto le permite ver mejor la lógica del problema y buscar los errores. Recordar el significado de los signos “igual” e “implicación”. Si se da una explicación intermedia se debe retomar la solución con lo que se busca, por ejemplo, f(x) = …
    • En casos prácticos, programar el algoritmo de solución
    • Revisar inmediatamente cada operación realizada
    • Recordar siempre el objetivo de cada paso. ¿Por qué estoy haciendo esto?
    • Si aparece un problema recordar el plan y sus ramificaciones o buscar nuevos caminos
    • Enmarcar o resaltar los resultados intermedios importantes
    • Recordar que “la práctica hace al maestro”
    • Utilizar la analogía
    • Tener en cuenta que esta etapa puede realizarse con el software matemático adecuado, por lo que en casos prácticos no es la etapa más importante. La matemática no es lo mismo que calcular, el cálculo es solo un paso y no el fin de la matemática. Claro, la solución manual de algunos problemas permitirá entender y analizar mejor el problema y su solución, además de que para muchos es algo muy divertido, retador y que forma el pensamiento, el orden y la paciencia.

4. Revisión e interpretación de la solución

    • Observar detenidamente la forma y contenido de la solución y buscar su relación con el problema (¿si se encontró lo que se buscaba?)
    • Buscar sentido a la respuesta y analizar los casos límites (“si … entonces …”). Por ejemplo: ¿Si tiene sentido que la función crezca? ¿Si debe haber una función trigonométrica en la solución? ¿El número de términos tiene sentido? ¿Si es normal que un valor no se haya podido encontrar y por lo tanto lo consideré como cero? ¿Si son correctas las unidades? ¿Un valor tan grande o pequeño es posible?
    • Verificar que se utilizaron todos los datos del problema
    • Buscar posibilidades de simplificación de algunos pasos del procedimiento
    • Si se resolvió bien el problema y se entendió, revisar o bosquejar el diagrama de los pasos de la solución
    • Aprender del problema: explicar por qué funcionó el plan, qué problemas se tuvieron y cómo se abordaron, qué ideas son útiles para otros problemas

Etapas de formación en matemáticas

  • Todos podemos aprender matemáticas a niveles altos: la evidencia de la neurociencia que debería cambiar nuestra enseñanza
    • Nuestros cerebros tienen una enorme capacidad para crecer y cambiar en cualquier etapa de la vida
    • Ahora los científicos saben que los mejores momentos para el crecimiento y cambio del cerebro son cuando las personas trabajan en contenido desafiante, cometen errores, los corrigen, continúan, cometen más errores, siempre trabajan en áreas de gran desafío
    • Nueva evidencia muestra que cuando trabajamos en un problema de matemáticas, se involucran cinco vías diferentes en el cerebro, incluidas dos que son visuales. Uno de los aspectos más bellos de las matemáticas es la multidimensionalidad de la materia
    • Una de las implicaciones de esta nueva e importante ciencia es que todos debemos dejar de usar el lenguaje de habilidad fija y dejar de celebrar a los estudiantes diciendo que tienen un "regalo" o un "cerebro matemático" o que son "inteligentes". Cuando las personas escuchan tales elogios, se sienten bien al principio, pero cuando luego luchan con algo, comienzan a cuestionar su capacidad.
    • La lucha es realmente importante para el crecimiento del cerebro y para que ella pueda desarrollar las vías que necesitaba para aprender más matemáticas
  • El mito de que no se te dan bien las matemáticas: la neurociencia lucha por acabar con una de las ideas más extendidas del mundo
    • La neurociencia muestra que las matemáticas son un tema como todos los demás: se aprende con trabajo duro y práctica
    • Lo que creemos sobre nosotros mismos tiene un gran impacto sobre lo que aprendemos y sobre cómo lo aprendemos
    • No es que haya muchos que odien las matemáticas porque se les dan mal, es que se les dan mal porque las odian. Son los padres y los maestros con "ansiedad matemática" los que acaban transmitiendo esos sentimientos a sus hijos y estudiantes. Luego, esa ansiedad y ese mal rollo se encargan del resto.
  • Discalculia:  la "dislexia de las matemáticas", como se conoce coloquialmente.  La discalculia puede suponer un gran problema, pero mucha gente no lo es [discalcúlica] y ejerce como tal. Hasta las personas que sufren de discalculia pueden ser grandes algebristas o topólogos, dos áreas de las matemáticas que no estudian la cantidad.
  • En la escuela secundaria, la atención se centra principalmente en el dominio de procedimientos para resolver diversos tipos de problemas. Antes de la universidad, tienes éxito en matemáticas aprendiendo a "pensar dentro de la caja". La matemática escolar se trataba de hacer.
  • En la universidad, la atención se centra en aprender a pensar de una manera diferente y específica: pensar como un matemático. En la universidad, el éxito en matemáticas proviene de aprender a "pensar fuera de la caja". La matemática universitaria se trata principalmente de pensar. 
  • Transición de la escuela a la universidad:
    • El primer paso es aprender a dejar de buscar una fórmula para aplicar o un procedimiento a seguir
    • El segundo paso es pensar acerca del problema. Es decir, en lugar de simplemente aprender procedimientos para resolver problemas, también se espera que los estudiantes de matemática de nivel universitario dominen los conceptos subyacentes y sean capaces de justificar los métodos que utilizan.
  • Dado que cada estudiante tiene un perfil único de lo que entiende o no capta, este es el origen del "currículum en espiral", donde se presentan temas, y cada cierto tiempo se profundiza un poco más en cada tema.
  • Hay argumentos educativos (que en ausencia de pruebas contundentes de cualquier manera son acaloradamente debatidos) que dicen que la mente humana tiene que alcanzar un cierto nivel de dominio de la computación con entidades matemáticas abstractas antes de poder razonar acerca de sus propiedades
  • A los estudiantes se les ha asignado el papel y la responsabilidad de aprender, lo cual predisponía a que se le prestara, en el pasado reciente, muy poca importancia al aprendizaje frente a las ideas generales sobre la enseñanza ampliamente tratadas en la literatura relacionada con la pedagogía y la didáctica. Los estudiantes pueden aprender de manera independiente solamente si entran en contacto directo y activo con el objeto que desean aprender, en nuestro caso con el objeto intra y extra matemático, de esta manera podrían asumir cierta responsabilidad por su aprendizaje, puesto que el mismo no es un hecho desligado de los métodos de enseñanza (fuente)
  • Es fundamental hacer que los alumnos logren relacionar los problemas propios de la matemática con ejemplos de la vida cotidiana, haciendo más amigable su acercamiento y más fácil la memorización de fórmulas o planteamientos básicos (fuente)

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Última modificación: 08/05/2019 9:17